以前在线性代数中学习了矩阵,对矩阵的基本运算有一些了解,前段时间在使用GDI+的时候再次学习如何使用矩阵来变化图像,看了之后在这里总结说 明。

首先大家看看下面这个3 x 3的矩阵,这个矩阵被分割成4部分。为什么分割成4部分,在后面详细说明。

3 x 3

首先给大家举个简单的例子:现设点P0(x0, y0)进行平移后,移到P(x,y),其中x方向的平移量为△x,y方向的平移量为△y,那么,点P(x,y)的坐标为:

x = x0  + △x
y = y0  + △y

采用矩阵表达上述如下:
Translate

上述也类似与图像的平移,通过上述矩阵我们发现,只需要修改矩阵右上角的2个元素就可以了。

我们回头看上述矩阵的划分:
Area

为了验证上面的功能划分,我们举个具体的例子:现设点P0(x0 ,y0)进行平移后,移到P(x,y),其中x放大a倍,y放大b倍,

矩阵就是:Scale ,按照类似前面“平移”的方法就验证。

图像的旋转稍微复杂:现设点P0(x0, y0)旋转θ角后的对有点为P(x, y)。通过使用向量,我们得到如下:

x0 = r  cosα
y0 = r  sinα

x = r cos(α-θ) = x0 cosθ+ y0 sinθ
y = r sia(α-θ) = -x0 sinθ+y0 cosθ

于是我们得到矩阵:Rotate

如果图像围绕着某个点(a ,b)旋转呢?则先要将坐标平移到该点,再进行旋转,然后将旋转后的图像平移回到原来的坐标原点,在后面的篇幅中我们将详细介绍。

从高等数学方面给大家介绍了Matrix,本篇幅我们就结合Android 中的android.graphics.Matrix来具体说明,还记得我们前面说的图像旋转的矩阵:

Rotate

从最简单的旋转90度的是:

Rotate-90-Matrix

在android.graphics.Matrix中有对应旋转的函数:
Matrix matrix = new Matrix();
matrix.setRotate(90);
Test.Log(MAXTRIX_TAG,”setRotate(90):%s” , matrix.toString());

Rotate-90-Android

查看运行后的矩阵的值(通过Log输出):

Rotate-90-Android-log

与上面的公式基本完全一样(android.graphics.Matrix采用的是浮点数,而我们采用的整数)。

有了上面的例子,相信大家就可以亲自尝试了。通过上面的例子我们也发现,我们也可以直接来初始化矩阵,比如说要旋转30度:

Rotate-30-Matrix

前面给大家介绍了这么多,下面我们开始介绍图像的镜像 ,分为2种:水平镜像、垂直镜像。先介绍如何实现垂直镜 像,什么是垂直镜像就不详细说明。图像的垂直镜像变化也可以用矩阵变化的表示,设点P0(x0 ,y0 )进行镜像后的对应点为P(x ,y ),图像的高度为fHeight,宽度为fWidth,原图像中的P0(x0 ,y0 )经过垂直镜像后的坐标变为(x0 ,fHeight- y0);
x = x0
y = fHeight – y0
推导出相应的矩阵是:

垂直镜像-Matrix

final float f[] = {1.0F,0.0F,0.0F,0.0F,-1.0F,120.0F,0.0F,0.0F,1.0F};
Matrix matrix = new Matrix();
matrix.setValues(f);

按照上述方法运行后的结果:
垂直镜像-Android

至于水平镜像采用类似的方法,大家可以自己去试试吧。

实际上,使用下面的方式也可以实现垂直镜像:
Matrix matrix = new Matrix();
matrix.setScale (1.0,-1.0);
matrix.postTraslate(0, fHeight);

这就是我们将在后面的篇幅中详细说明。

什么是对称变换?具体的理论就不详细说明了,图像的镜像就是对称变换中的一种。

Symmetry

利用上面的总结做个具体的例子,产生与直线y= – x对称的反射图形,代码片段如下:

Symmetry-Example

当前矩阵输出是:

Symmetry-Matrix-Output

图像变换的效果如下:

Symmetry-Android

什么是图像的错切变换 (Shear transformation)?我们还是直接看图片错切变换后是的效果:

Shear-Transformation

Shear-Matrix-Result

对图像的错切变换做个总结:

Shear-Matrix

x = x0 + b*y0;

y = d*x0 + y0;

Shear-Table

这里再次给大家介绍一个需要注意的地方:

pre-set

通过以上,我们发现Matrix的setXXXX()函数,在调用时调用了一次reset(),这个在复合变换时需要注意。

Preconcats matrix or  Postconcats matrix?

从最基本的高等数学开始,Matrix的基本操作包括:+、*。Matrix的乘法不满足交换律,也就是说A*B ≠B*A。

还有2种常见的矩阵:

Identity-Inverse

有了上面的基础,下面我们开始进入主题。由于矩阵不满足交换律,所以用矩阵B乘以矩阵A,需要考虑是左乘(B*A),还 是右乘(A*B)。在Android的android.graphics.Matrix中为我们提供了类似的方法,也就是我们本篇幅要说明的 Preconcats matrix 与 Postconcats  matrix。下面我们还是通过具体的例子还说明:

Preconcats-Postconcats-Example

通过输出的信息,我们分析其运行过程如下:

Preconcats-Postconcats-Matrix

看了上面的输出信息。我们得出结论:Preconcats matrix相当于右乘矩阵,Postconcats  matrix 相 当于 左乘矩阵

上一篇副中,我们说到:

equal

其运行过程的详细分析就不在这里多说了。

我们留下一个话题:如果图像围绕着某个点P(a,b)旋转,则先要将坐标系平移到该点,再进行旋转,然后将旋转后的图像平移回到原来的坐标原点。

我们需要3步:

  1. 平移 ——将坐标系平移到点P(a,b);
  2. 旋转 ——以原点为中心旋转图像;
  3. 平移 ——将旋转后的图像平移回到原来的坐标原点;

相比较前面说的图像的几何变化(基本的图像几何变化),这里需要平移——旋转——平移 ,这种需要多种图像的几何 变化就叫做图像的复合变化 。

设对给定的图像依次进行了基本变化F1、F2、F3…..、Fn,它们的变化矩阵分别为T1、T2、T3…..、Tn,图像复合变 化的矩阵T可以表示为:T = TnTn-1…T1。

按照上面的原则,围绕着某个点(a,b)旋转θ的变化矩阵序列是:

Composite Change Matrix

按照上面的公式,我们列举一个简单的例子:围绕(100,100)旋转30度(sin 30 = 0.5 ,cos 30 = 0.866)
float f[]= { 0.866F,  -0.5F, 63.4F,0.5F, 0.866F,-36.6F,0.0F,    0.0F,  1.0F };
matrix = new Matrix ();
matrix.setValues (f);
旋转后的图像如下:

Rotate-100-100-Android

Android为我们提供了更加简单的方法,如下:
Matrix matrix = new Matrix ();
matrix.setRotate (30,100,100);
矩阵运行后的实际结果:
Rotate-30-100-100-Matrix
与我们前面通过公式获取得到的矩阵完全一样。

在这里我们提供另外一种方法,也可以达到同样的效果:
float a = 100.0F,b = 100.0F;
matrix = new Matrix ();
matrix.setTranslate (a,b);
matrix.preRotate (30);
matrix.preTranslate (-a,-b);
将在后面的篇幅中为大家详细解析

通过类似的方法,我们还可以得到:相对点P(a,b)的比例[sx,sy]变化矩阵

P(a,b)-Scale

 

引用网友的文章: http://www.moandroid.com/?p=1781